Fórmula dos Juros Compostos Explicada Passo a Passo

A fórmula dos juros compostos é M = C × (1 + i)ⁿ, onde M é o montante final, C o capital inicial, i a taxa por período em decimal e n o número de períodos. A fórmula descreve um capital que se multiplica por (1 + i) uma vez em cada período, e o expoente n é o que faz o crescimento acelerar.

Este artigo deriva a fórmula passo a passo e acrescenta a variante com aportes mensais, que é a versão de que precisas na prática e raramente aparece explicada. Saber a fórmula serve para perceberes o que a ferramenta faz: para correres os teus números sem fazer a conta à mão, o simulador de investimentos aplica estas mesmas equações. Para o enquadramento geral do conceito, vê o artigo sobre como funcionam os juros compostos.

Como se deriva a fórmula do juro composto?

A fórmula do juro composto sai de repetir a mesma operação uma vez por período. No fim de cada período, o capital fica igual ao capital anterior mais os juros desse período, ou seja multiplicado por (1 + i).

Segue a derivação com 10.000 € a 4% ao ano:

Multiplicar por 1,04 três vezes seguidas é o mesmo que multiplicar por 1,04 elevado a 3, que dá 1,124864. Generalizando para n períodos, chegas à fórmula:

Os juros gerados são a diferença entre o montante final e o capital inicial:

No exemplo, 11.248,64 € menos 10.000 € dá 1.248,64 € de juros em três anos. Com juro simples seriam 1.200 €, porque 4% de 10.000 € são 400 € por ano, sempre sobre a mesma base.

O que significa cada termo da fórmula?

Cada termo da fórmula do juro composto responde a uma pergunta diferente sobre a tua poupança.

C, o capital inicial, é um multiplicador. Duplicar o capital duplica exatamente o resultado, sem surpresas. É o termo mais linear e, por isso, o menos interessante.

i, a taxa por período, entra dentro do parêntesis. Uma diferença de um ponto percentual parece pequena no início e torna-se enorme no fim, porque é aplicada n vezes. A 20 anos, 10.000 € a 4% dão 21.911 € e a 5% dão 26.533 €.

n, o número de períodos, é o expoente, e é o termo com mais força. Não multiplica, potencia. É a razão matemática pela qual começar cedo vale mais do que começar com muito.

Uma condição obrigatória: i e n têm de estar na mesma unidade de tempo. Se n está em meses, i tem de ser a taxa mensal. Uma taxa anual de 6% convertida para mensal fica assim:

Misturar as unidades é o erro mais frequente: usar 0,06 com n em meses faz a calculadora ler 6% ao mês.

Qual é a fórmula do juro composto com aportes mensais?

A fórmula do juro composto com aportes mensais junta duas parcelas: o capital inicial a crescer sozinho, mais a série de reforços, em que cada reforço rende durante um número de meses diferente.

A segunda parcela é a soma de uma progressão geométrica. A lógica é simples: o primeiro aporte rende durante quase todos os meses, o último aporte não rende nada porque entra no fim. Em vez de somar as parcelas uma a uma, a fórmula fechada faz a soma toda de uma vez.

Aplica com 150 € por mês, 5% ao ano e 15 anos, sem capital inicial. Passa tudo para base mensal: i = 0,05 ÷ 12 = 0,0041667 e n = 15 × 12 = 180 meses.

Se juntares 2.000 € de capital inicial, a primeira parcela dá 2.000 € × 2,113704 = 4.227 €, e o total sobe para 44.321 €. As duas parcelas somam-se sem interferirem uma na outra.

Podes confirmar qualquer destes valores no simulador de investimentos, que aplica exatamente esta fórmula.

Como calcular o prazo ou a taxa a partir da fórmula?

A fórmula do juro composto pode ser resolvida para qualquer uma das variáveis, o que serve para responder a perguntas mais úteis do que apenas o montante final.

Para descobrir quantos períodos faltam para atingir um objetivo:

Para descobrir que taxa é necessária para chegar a um valor num prazo dado:

Exemplo da primeira: quanto tempo demoram 10.000 € a chegar a 20.000 € a 4% ao ano? O logaritmo natural de 2 é 0,6931 e o logaritmo natural de 1,04 é 0,03922. A divisão dá 17,67 anos. A regra dos 72 estimaria 72 ÷ 4 = 18 anos, o que mostra que o atalho mental está perto do valor exato nesta gama de taxas.

Como validar um cálculo de juro composto à mão?

Validar um cálculo de juro composto faz-se com dois testes rápidos, sem repetir a conta toda.

O primeiro é o teste da ordem de grandeza com a regra dos 72: divide 72 pela taxa anual em percentagem e obténs os anos até o capital duplicar. Se a tua conta diz que 10.000 € a 4% chegam a 40.000 € em 20 anos, alguma coisa está errada, porque a 4% duplicar demora cerca de 18 anos, e quadruplicar demora cerca de 36.

O segundo é o teste do primeiro período. Calcula à mão o que acontece no primeiro mês ou no primeiro ano e confirma que bate certo com a tabela. Se 10.000 € a 4% ao ano não dão 10.400 € no fim do primeiro ano, o erro está nos pressupostos e não na fórmula.

Um terceiro sinal de alarme: se o resultado for astronómico, verifica as unidades. Uma taxa anual usada com períodos mensais é a causa em quase todos os casos.

Saber a fórmula resolve a matemática. O que decide o resultado é o valor que consegues pôr no campo do aporte todos os meses, durante anos.

Fontes e revisão

• Todos Contam, juro simples e juro composto
• Banco de Portugal, Portal do Cliente Bancário, depósitos bancários
• Banco de Portugal, Portal do Cliente Bancário, taxas de juro

Revisto em 7 de agosto de 2026. Todos os cálculos deste artigo são exemplos ilustrativos com taxa constante, sem impostos nem comissões, e podem ser verificados passo a passo com os valores apresentados.